3 Тип 3 № 7219 i Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуман- ного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой. Ответ:

Ответ: 35

1. Шаг 1: Определение переменных
   Пусть x - первая цифра задуманного числа, y - вторая цифра. Тогда задуманное число равно 10x + y. Число, полученное перестановкой цифр, равно 10y + x.
2. Шаг 2: Формулировка условий задачи в виде уравнений
   По условию, вторая цифра на 2 больше первой, значит:
   \[y = x + 2\]
   Сумма квадратов задуманного и полученного числа равна 1130, значит:
   \[(10x + y)^2 + (10y + x)^2 = 1130\]
3. Шаг 3: Подстановка и упрощение
   Подставим первое уравнение во второе:
   \[(10x + (x + 2))^2 + (10(x + 2) + x)^2 = 1130\]\[(11x + 2)^2 + (11x + 20)^2 = 1130\]
4. Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение
   Раскроем скобки:
   \[(121x^2 + 44x + 4) + (121x^2 + 440x + 400) = 1130\]
   Соберем подобные слагаемые:
   \[242x^2 + 484x + 404 = 1130\]
5. Шаг 5: Упрощение уравнения
   Перенесем все в одну сторону и упростим:
   \[242x^2 + 484x - 726 = 0\]
   Разделим обе части уравнения на 22:
   \[11x^2 + 22x - 33 = 0\]
   Разделим обе части уравнения на 11:
   \[x^2 + 2x - 3 = 0\]
6. Шаг 6: Решение квадратного уравнения
   Найдем корни квадратного уравнения:
   \[x^2 + 2x - 3 = 0\]
   Используем формулу дискриминанта:
   \[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\]
   Найдем корни:
   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
   \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]
7. Шаг 7: Выбор подходящего корня
   Так как x - цифра, то x должен быть целым числом от 0 до 9. Поэтому x = 1 подходит. Тогда y = x + 2 = 1 + 2 = 3.
8. Шаг 8: Проверка
   Проверим, подходит ли число 13:
   \[13^2 + 31^2 = 169 + 961 = 1130\]
   Условие выполняется.
9. Шаг 9: Есть еще решение!
   Если x = 3, то y = 5. Проверим, подходит ли число 35:
   \[35^2 + 53^2 = 1225 + 2809 = 4034\]
   Значит, это неверное решение.

Ответ: 35