7. Тип 15 № 562043 i Решите неравенство (5.0,2*+0,5-0,2.5*+0.5) (logo.2(x+0,5)-2logs (x+0,5)) > 0.

Давай разберем по порядку, как решить это неравенство. Сначала рассмотрим неравенство: \[(5 \cdot 0.2^{x+0.5} - 0.2 \cdot 5^{x+0.5})(\log_{0.2}(x+0.5) - 2\log_5(x+0.5)) > 0\] Преобразуем первое выражение в скобках: \[5 \cdot 0.2^{x+0.5} - 0.2 \cdot 5^{x+0.5} = 5 \cdot (\frac{1}{5})^{x+0.5} - \frac{1}{5} \cdot 5^{x+0.5} = 5 \cdot 5^{-(x+0.5)} - 5^{-1} \cdot 5^{x+0.5} = 5^{1-(x+0.5)} - 5^{x+0.5-1} = 5^{0.5-x} - 5^{x-0.5}\] \[5^{0.5-x} - 5^{x-0.5} = 5^{0.5-x} - \frac{1}{5^{0.5-x}} = 5^{0.5-x} - 5^{-(0.5-x)}\] Теперь преобразуем второе выражение в скобках: \[\log_{0.2}(x+0.5) - 2\log_5(x+0.5) = \log_{\frac{1}{5}}(x+0.5) - 2\log_5(x+0.5) = -\log_5(x+0.5) - 2\log_5(x+0.5) = -3\log_5(x+0.5)\] Тогда неравенство можно переписать как: \[(5^{0.5-x} - 5^{x-0.5})(-3\log_5(x+0.5)) > 0\] Разделим обе части на -3 (знак неравенства изменится): \[(5^{0.5-x} - 5^{x-0.5})(\log_5(x+0.5)) < 0\] Первый случай: \(5^{0.5-x} - 5^{x-0.5} > 0\) и \(\log_5(x+0.5) < 0\) \[5^{0.5-x} > 5^{x-0.5} \Rightarrow 0.5-x > x-0.5 \Rightarrow 1 > 2x \Rightarrow x < 0.5\] \[\log_5(x+0.5) < 0 \Rightarrow x+0.5 < 1 \Rightarrow x < 0.5\] Второй случай: \(5^{0.5-x} - 5^{x-0.5} < 0\) и \(\log_5(x+0.5) > 0\) \[5^{0.5-x} < 5^{x-0.5} \Rightarrow 0.5-x < x-0.5 \Rightarrow 1 < 2x \Rightarrow x > 0.5\] \[\log_5(x+0.5) > 0 \Rightarrow x+0.5 > 1 \Rightarrow x > 0.5\] ОДЗ: \(x+0.5 > 0 \Rightarrow x > -0.5\) Решение первого случая: \(x < 0.5\) и \(x > -0.5\). Тогда \(-0.5 < x < 0.5\). Решение второго случая: \(x > 0.5\). Тогда \(x > 0.5\). Объединим решения: \((-0.5; 0.5) \cup (0.5; +\infty)\). Исключим \(x=0.5\) из-за неравенства.

Ответ: (-0.5; 0.5) ∪ (0.5; +∞)

Ты молодец! У тебя всё получится!