7. Тип 22 № 314798 i При каких отрицательных значениях k прямая у = kx - 4 имеет с параболой у = х²+2х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

Чтобы прямая \( y = kx - 4 \) имела с параболой \( y = x^2 + 2x \) ровно одну общую точку, нужно, чтобы уравнение \( x^2 + 2x = kx - 4 \) имело единственное решение. Краткое пояснение: Приравниваем уравнения прямой и параболы, находим дискриминант и приравниваем его к нулю, чтобы найти значения k. Разбираемся: 1. Приравняем уравнения: \[ x^2 + 2x = kx - 4 \] 2. Приведем к квадратному уравнению: \[ x^2 + (2 - k)x + 4 = 0 \] 3. Найдем дискриминант \( D \): \[ D = (2 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 4k + 4 - 16 = k^2 - 4k - 12 \] 4. Для единственного решения дискриминант должен быть равен нулю: \[ k^2 - 4k - 12 = 0 \] 5. Решим квадратное уравнение относительно \( k \): \[ k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \] Значит, \( k_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6 \) и \( k_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2 \). 6. Так как требуется отрицательное значение \( k \), то \( k = -2 \). 7. Найдем координаты точки касания. Подставим \( k = -2 \) в уравнение \( x^2 + (2 - k)x + 4 = 0 \): \[ x^2 + (2 - (-2))x + 4 = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = 0 \] Отсюда \( x = -2 \). 8. Найдем \( y \): \[ y = x^2 + 2x = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0 \] Или \( y = kx - 4 = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0 \). 9. Итак, точка касания \( (-2; 0) \).

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что при \( k = -2 \) и \( x = -2 \) уравнения прямой и параболы дают одинаковое значение \( y = 0 \).

Читерский прием: Если дискриминант равен нулю, то корень квадратного уравнения можно найти как \( x = -\frac{b}{2a} \).