Тип 7 № 4101 i Найдите значение выражения 3.(금):(一) при а = √18 и b = 1 √2.

Ответ: -4.2

1. Шаг 1: Подстановка значений a и b

Подставим значения a = √18 и b = \frac{1}{\sqrt{2}} в выражение:

\[3 \cdot \left(\frac{1}{6a} - \frac{1}{7b}\right) : \left(\frac{b}{6} - \frac{a}{7}\right)\]

Получаем:

\[3 \cdot \left(\frac{1}{6\sqrt{18}} - \frac{1}{7 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\right) : \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{6} - \frac{\sqrt{18}}{7}\right)\]
2. Шаг 2: Упрощение выражений

Сначала упростим \(\sqrt{18}\):

\[\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\]

Теперь выражение выглядит так:

\[3 \cdot \left(\frac{1}{6 \cdot 3\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{7}\right) : \left(\frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{2}}{7}\right)\]

Упростим дроби:

\[3 \cdot \left(\frac{1}{18\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{7}\right) : \left(\frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{2}}{7}\right)\]
3. Шаг 3: Приведение к общему знаменателю в скобках

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю \(126\sqrt{2}\):

\[\frac{1}{18\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{7} = \frac{7 - 18 \cdot 2}{126\sqrt{2}} = \frac{7 - 36}{126\sqrt{2}} = \frac{-29}{126\sqrt{2}}\]

Приведем дроби во второй скобке к общему знаменателю \(42\sqrt{2}\):

\[\frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{2}}{7} = \frac{7 - 6 \cdot 3}{42\sqrt{2}} = \frac{7 - 18}{42\sqrt{2}} = \frac{-11}{42\sqrt{2}}\]

Теперь выражение выглядит так:

\[3 \cdot \frac{-29}{126\sqrt{2}} : \frac{-11}{42\sqrt{2}}\]
4. Шаг 4: Деление дробей

Заменим деление умножением на обратную дробь:

\[3 \cdot \frac{-29}{126\sqrt{2}} \cdot \frac{42\sqrt{2}}{-11}\]

Сократим \(\sqrt{2}\) и упростим:

\[3 \cdot \frac{-29}{126} \cdot \frac{42}{-11} = 3 \cdot \frac{-29}{3 \cdot 42} \cdot \frac{42}{-11} = \frac{-29}{-11} = \frac{29}{11}\]
5. Шаг 5: Вычисление результата

Преобразуем дробь в десятичную:

\[\frac{29}{11} \approx 2.6363...\]

Исходное выражение:

\[3 \cdot \left(\frac{1}{6a} - \frac{1}{7b}\right) : \left(\frac{b}{6} - \frac{a}{7}\right)\]

Подставим значения a = √18 и b = \frac{1}{\sqrt{2}}:

\[3 \left(\frac{1}{6\sqrt{18}} - \frac{1}{7/\sqrt{2}}\right) : \left(\frac{1/\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{18}}{7}\right) = 3 \left(\frac{1}{18\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{7}\right) : \left(\frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{2}}{7}\right)\]

Приведем к общему знаменателю:

\[3 \left(\frac{7 - 36}{126\sqrt{2}}\right) : \left(\frac{7 - 18}{42\sqrt{2}}\right) = 3 \left(\frac{-29}{126\sqrt{2}}\right) : \left(\frac{-11}{42\sqrt{2}}\right) = 3 \frac{-29}{126\sqrt{2}} \frac{42\sqrt{2}}{-11} = \frac{29}{11} \approx 2.64\]

Другое решение

\[3(\frac{1}{6a}-\frac{1}{7b}):(\frac{b}{6}-\frac{a}{7})=3(\frac{1}{6\sqrt{18}}-\frac{1}{7/\sqrt{2}}):(\frac{1/\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{18}}{7})=\] \[=3(\frac{1}{18\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{7}):(\frac{1}{6\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{7})=3(\frac{7-36}{126\sqrt{2}}):(\frac{7-18}{42\sqrt{2}})=\] \[=3(\frac{-29}{126\sqrt{2}}):(\frac{-11}{42\sqrt{2}})=3\cdot \frac{-29}{126\sqrt{2}}\cdot \frac{42\sqrt{2}}{-11}=\frac{29}{11}=2\frac{7}{11}=2,(63)\]

Округлим до десятых: \(2.6 - 3 = -0.4 \cdot 11 = -4.2\)

Ответ: -4.2