91 Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы , то прямые Дано: прямые а и b и их секущая АВ, углы 1 и 2 накрест лежащие, ∠1 = ∠2 (рисунок а). Доказать: а || b. Доказательство. Если углы 1 и 2 прямые, то a ⊥ AB, b ⊥ AB, поэтому а || b. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. На рисунке б точка O – середина отрезка АВ, OH ⊥ a, BH₁ = AH. 1) ΔOHA = ΔOH₁B по поэтому ∠3=∠4 и ∠5=∠6. 2) Из равенства углов 3 и 4 следует, что точка H₁ лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки H, О и H₁ лежат 3) Из равенства углов 5 и 6 следует, что ∠6 = , т. е. HH₁ ⊥ b. 4) Итак, прямые a и b к прямой , поэтому они . Теорема доказана.

Давай заполним пропуски в доказательстве теоремы о параллельности прямых. Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство: 1) ΔOHA = ΔOH₁B по двум катетам (OH = OH₁, AH = BH₁). поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. 2) Из равенства углов 3 и 4 следует, что точка H₁ лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H₁ лежат на одной прямой. 3) Из равенства углов 5 и 6 следует, что ∠6 = 90°, т. е. HH₁ ⊥ b. 4) Итак, прямые a и b перпендикулярны к прямой HH₁, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Ответ: заполнены пропуски в доказательстве.

Ты отлично справился с заполнением пропусков в доказательстве теоремы! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!