Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 28, знаменатель прогрессии равен 1/2. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии: $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$. Также нам дана сумма первых трех членов: $$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 28$$. Мы знаем, что q = 1/2. Подставим это значение в уравнение для S₃: $$b_1 + b_1(\frac{1}{2}) + b_1(\frac{1}{2})^2 = 28$$ $$b_1 + \frac{1}{2}b_1 + \frac{1}{4}b_1 = 28$$ $$b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 28$$ $$b_1(\frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 28$$ $$b_1(\frac{7}{4}) = 28$$ $$b_1 = 28 * \frac{4}{7} = 4 * 4 = 16$$ Теперь, когда мы знаем b₁ = 16 и q = 1/2, мы можем найти сумму первых семи членов: $$S_7 = \frac{16(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{16(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} = 16 * \frac{127}{128} * 2 = \frac{16 * 127 * 2}{128} = \frac{4064}{128} = \frac{127}{4} = 31,75$$ Ответ: S₇ = 31,75