5. Стороны тругольника равны АВ = 14 дм, ВС = 13 дм и АС = 15 дм. Найдите высоту, проведённую к стороне АВ.

Ответ: 12 дм

Решение:

• Полупериметр треугольника: \[p = \frac{14 + 13 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\]
• Площадь треугольника по формуле Герона: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2} = 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84\]
• Площадь треугольника через основание и высоту: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h\]
• Высота: \[h = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12\]

Ответ: 12 дм