Стороны треугольника равны 5 и 10, а угол между ними равен 60°. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите ее радиус.

Пусть стороны треугольника будут $$a = 5$$, $$b = 10$$, а угол между ними $$\gamma = 60^\circ$$.

Сначала найдем третью сторону $$c$$ по теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$ $$c^2 = 5^2 + 10^2 - 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)$$

Так как $$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$$, то:

$$c^2 = 25 + 100 - 100 \cdot \frac{1}{2} = 125 - 50 = 75$$ $$c = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$

Теперь найдем радиус описанной окружности вокруг треугольника по формуле:

$$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$S$$ - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(60^\circ)$$

Так как $$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, то:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$$

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$$R = \frac{5 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3}}{4 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2}} = \frac{250\sqrt{3}}{100\sqrt{3}/2} = \frac{250\sqrt{3}}{50\sqrt{3}} = 5$$

Ответ: 5