Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М, К и Р соответственно так, что ВМ-5 см, РС-7 см, а периметр треугольника АВС равен 32 см. Найдите длину стороны АС.

Разбираемся:

1. Свойство касательных: Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Значит, BM = BK = 5 см и PC = PK = 7 см.
2. Обозначения: Пусть AM = AR = x.
3. Выражаем стороны треугольника через x:
   • AB = BM + AM = 5 + x
   • BC = BK + KC = 5 + 7 = 12
   • AC = AR + RC = x + 7
4. Периметр: P = AB + BC + AC = (5 + x) + 12 + (x + 7) = 32
5. Решаем уравнение: 2x + 24 = 32 => 2x = 8 => x = 4
6. Находим AC: AC = x + 7 = 4 + 7 = 11 см

Ответ: AC = 11 см

Проверка за 10 секунд: AB = 9, BC = 12, AC = 11. 9 + 12 + 11 = 32 (периметр). Всё сходится!

Запомни: Касательные из одной точки всегда равны. Это ключевой момент при решении подобных задач.