1. Сторона ромба равна 29, а диагональ равна 42. Найдите площадь ромба.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Известна одна диагональ, нужно найти вторую. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть a - сторона ромба, d₁ и d₂ - диагонали ромба.

$$a = 29$$

$$d_1 = 42$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:

$$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$$

$$(\frac{42}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 29^2$$

$$21^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 841$$

$$441 + (\frac{d_2}{2})^2 = 841$$

$$(\frac{d_2}{2})^2 = 841 - 441$$

$$(\frac{d_2}{2})^2 = 400$$

$$\frac{d_2}{2} = \sqrt{400}$$

$$\frac{d_2}{2} = 20$$

$$d_2 = 20 \cdot 2 = 40$$

Площадь ромба:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 40 = 21 \cdot 40 = 840$$

Ответ: 840