Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.

Доказательство:

1. Пусть \( BC = x \). Так как \( CD = 2 BC \), то \( CD = 2x \).
2. \( N \) — середина стороны \( CD \), поэтому \( CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{2x}{2} = x \).
3. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: \( AB = CD = 2x \) и \( BC = AD = x \).
4. Рассмотрим треугольник \( BCN \). \( BC = x \) и \( CN = x \). Следовательно, треугольник \( BCN \) — равнобедренный.
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол \( CNB = \angle CBN \).
6. Так как ABCD — параллелограмм, то сторона \( BC \) параллельна стороне \( CD \).
7. Прямая \( BN \) является секущей для параллельных прямых \( BC \) и \( CD \) (точнее, для \( BC \) и \( ND \)).
8. При параллельных прямых \( BC \) и \( ND \) и секущей \( BN \), накрест лежащие углы равны. То есть, \( ∠ NBC = ∠ BNC \).
9. Мы уже установили, что \( ∠ CNB = ∠ CBN \) (из равнобедренности \( Δ BCN \)).
10. Из равенств \( ∠ NBC = ∠ BNC \) и \( ∠ CNB = ∠ CBN \) следует, что \( ∠ NBC = ∠ CBN \).
11. Так как \( ∠ NBC = ∠ CBN \), то \( BN \) является биссектрисой угла \( ABC \).