Постройте график функции y = |x²+5x+6|-1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

1. Сначала построим график функции \( y = x^2 + 5x + 6 \). Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2} = -2.5 \). \( y_в = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \). Вершина: \( (-2.5; -0.25) \).
2. Найдем нули функции \( x^2 + 5x + 6 = 0 \): \( x_1 = -2 \), \( x_2 = -3 \).
3. График функции \( y = |x^2 + 5x + 6| \) получается отражением части параболы, лежащей ниже оси Ох, вверх. То есть, часть параболы между \( x = -3 \) и \( x = -2 \) с вершиной \( (-2.5; -0.25) \) отражается вверх, и новая вершина будет \( (-2.5; 0.25) \).
4. Теперь построим график \( y = |x^2 + 5x + 6| - 1 \). Это значит, что весь график \( y = |x^2 + 5x + 6| \) сдвигается на 1 единицу вниз. Новая вершина будет в точке \( (-2.5; 0.25 - 1) = (-2.5; -0.75) \).
5. Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки, когда \( m \) находится между уровнем оси Ох (когда \( y = |x^2 + 5x + 6| \) пересекает ось Ох) и новой вершиной параболы.
6. Уровни пересечения оси Ох: \( y = 0 \) (так как \( |x^2 + 5x + 6| - 1 = 0 \) => \( |x^2 + 5x + 6| = 1 \), что дает \( x^2 + 5x + 6 = 1 \) или \( x^2 + 5x + 6 = -1 \).
7. \( x^2 + 5x + 5 = 0 \): \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2} \) (две точки).
8. \( x^2 + 5x + 7 = 0 \): \( D = 25 - 28 = -3 < 0 \) (нет решений).
9. Таким образом, прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках, если \( m \) находится в интервале \( (-1; 0) \) или \( m \) равно уровню бывших нулей параболы \( y=x^2+5x+6 \), которые после отражения стали выше оси Ох.
10. Новая вершина — \( (-2.5; -0.75) \). Отраженная часть параболы между \( x=-3 \) и \( x=-2 \) имеет максимум \( y=0.25 \) до сдвига вниз. После сдвига вниз, этот максимум будет \( y = 0.25 - 1 = -0.75 \).
11. Прямая \( y=m \) имеет ровно две общие точки, когда \( m \) находится в интервале \( (-1; 0) \) или \( m=0 \).
12. Если \( m > 0 \), прямая пересекает график в 4 точках.
13. Если \( m = 0 \), прямая пересекает график в 2 точках.
14. Если \( -1 < m < 0 \), прямая пересекает график в 4 точках.
15. Если \( m = -1 \), прямая пересекает график в 2 точках.
16. Если \( m < -1 \), прямая пересекает график в 0 точках.
17. С учетом того, что \( y=|x^2+5x+6|-1 \), наименьшее значение функции равно \( -1 \).
18. Итак, \( y=m \) имеет ровно две общие точки, когда \( m=0 \) или \( m=-1 \).

Ответ: m = 0 или m = -1.