Среднее арифметическое числового набора 8. Найдите среднее арифметическое этого набора если: а) ко всем числа Х прибавить 5 б) из всех числа Х вычесть 6 в) каждое число Х увеличить в 3 раза

Решение:

Давай разберем, как изменится среднее арифметическое числового набора в каждом из предложенных случаев.

Пусть у нас есть числовой набор \( X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} \), где \( n \) - количество чисел в наборе. Среднее арифметическое этого набора равно:

\[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \]

Обозначим среднее арифметическое как \( \bar{x} \). Тогда:

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \]

а) Ко всем числам \( X \) прибавить 5

Новый набор чисел будет выглядеть так: \( \{x_1 + 5, x_2 + 5, ..., x_n + 5\} \). Среднее арифметическое нового набора будет:

\[ \bar{x'} = \frac{(x_1 + 5) + (x_2 + 5) + ... + (x_n + 5)}{n} \]

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

\[ \bar{x'} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n + 5n}{n} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} + \frac{5n}{n} \]

Таким образом:

\[ \bar{x'} = \bar{x} + 5 \]

Среднее арифметическое увеличится на 5.

б) Из всех чисел \( X \) вычесть 6

Новый набор чисел будет выглядеть так: \( \{x_1 - 6, x_2 - 6, ..., x_n - 6\} \). Среднее арифметическое нового набора будет:

\[ \bar{x''} = \frac{(x_1 - 6) + (x_2 - 6) + ... + (x_n - 6)}{n} \]

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

\[ \bar{x''} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n - 6n}{n} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} - \frac{6n}{n} \]

Таким образом:

\[ \bar{x''} = \bar{x} - 6 \]

Среднее арифметическое уменьшится на 6.

в) Каждое число \( X \) увеличить в 3 раза

Новый набор чисел будет выглядеть так: \( \{3x_1, 3x_2, ..., 3x_n\} \). Среднее арифметическое нового набора будет:

\[ \bar{x'''} = \frac{3x_1 + 3x_2 + ... + 3x_n}{n} \]

Вынесем 3 за скобки:

\[ \bar{x'''} = \frac{3(x_1 + x_2 + ... + x_n)}{n} = 3 \cdot \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \]

Таким образом:

\[ \bar{x'''} = 3 \cdot \bar{x} \]

Среднее арифметическое увеличится в 3 раза.

Ответ:

• а) Среднее арифметическое увеличится на 5.
• б) Среднее арифметическое уменьшится на 6.
• в) Среднее арифметическое увеличится в 3 раза.

Молодец! Ты отлично разобрался с этими преобразованиями среднего арифметического. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!