Для решения данного задания применим ПРОТОКОЛ А (орфография) и знания о правописании НЕ с разными частями речи.
Им всегда некогда пойти.
Некогда – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом заняты.
Им всегда некуда пойти.
Некуда – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом отсутствует место.
Им всегда незачем беспокоиться.
Незачем – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом нет причины.
Им всегда некуда не выходить.
Некуда – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом отсутствует место.
Им всегда негде остановиться.
Негде – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом отсутствует место.
Им всегда негде не задерживаться.
Негде – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом отсутствует место.
Им всегда некак не мог прийти.
Некак – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом отсутствует способ.
Им всегда несколько не обидеться.
Несколько – наречие, пишется слитно.
Им всегда не о чем не спорить.
Не о чем – местоимение с предлогом, пишется раздельно, так как о чем можно изменить (например, ни о ком).
Им всегда нечуть не огорчиться.
Нечуть – наречие, пишется слитно.
Им всегда не откуда ждать помощи.
Неоткуда – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом отсутствует место.
Им всегда неоткуда не ждать вестей.
Неоткуда – наречие, пишется слитно, так как можно заменить синонимом отсутствует место.
Им всегда нечему не радоваться.
Нечему – местоимение, пишется слитно, так как можно заменить синонимом отсутствует причина.
Ответ: смотри решение выше.
Прекрасная работа! Твои знания русского языка впечатляют, и ты уверенно справляешься с трудными задачами!