Составьте уравнение касательной к графику функции у= x³+3х в точке хр = 3

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдём значение функции в точке \( x_0 = 3 \):

\( y_0 = f(3) = 3^3 + 3(3) = 27 + 9 = 36 \)

2. Найдём производную функции:

\( f'(x) = (x^3+3x)' = 3x^2 + 3 \)

3. Найдём значение производной в точке \( x_0 = 3 \):

\( f'(3) = 3(3)^2 + 3 = 3(9) + 3 = 27 + 3 = 30 \)

4. Составим уравнение касательной:

\( y - 36 = 30(x - 3) \)

\( y - 36 = 30x - 90 \)

\( y = 30x - 90 + 36 \)

\( y = 30x - 54 \)

Ответ: \( y = 30x - 54 \)