Solve the system of equations: {x+y=420 {10^x + 10^y = 10^109

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 420 \\ 10^x + 10^y = 10^{109} \end{cases} \)

Попробуем найти целочисленные решения. Если \( x = 109 \), то \( y = 420 - 109 = 311 \). Подставим во второе уравнение:

\( 10^{109} + 10^{311} \neq 10^{109} \)

Если \( y = 109 \), то \( x = 420 - 109 = 311 \). Подставим во второе уравнение:

\( 10^{311} + 10^{109} \neq 10^{109} \)

Рассмотрим функцию \( f(t) = 10^t \). Эта функция является возрастающей. Рассмотрим функцию \( g(x) = 10^x + 10^{420-x} \). Найдем её минимум. Производная \( g'(x) = 10^x \ln(10) - 10^{420-x} \ln(10) \). Приравнивая производную к нулю, получаем \( 10^x = 10^{420-x} \), что означает \( x = 420 - x \), откуда \( 2x = 420 \) и \( x = 210 \).

При \( x = 210 \), \( y = 420 - 210 = 210 \).

Тогда \( 10^{210} + 10^{210} = 2 \cdot 10^{210} \). Это значение не равно \( 10^{109} \).

Поскольку \( 2 \times 10^{210} \) значительно больше \( 10^{109} \), а \( x+y=420 \) — константа, мы можем сделать вывод, что таких \(x\) и \(y\) не существует. График функции \( g(x) = 10^x + 10^{420-x} \) будет иметь минимум при \( x=210 \), и это минимальное значение \( 2 \times 10^{210} \) больше, чем \( 10^{109} \).

Ответ: Решений нет.