Solve the integral: \(\int_{1}^{2} \left(\frac{x+1}{x}\right)^2 dx\)

Решение:

Сначала раскроем квадрат выражения в подынтегральной функции:

\[ \left(\frac{x+1}{x}\right)^2 = \frac{(x+1)^2}{x^2} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2} = 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \]

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

\[ \int_{1}^{2} \left(1 + \frac{2}{x} + x^{-2}\right) dx = \left[ x + 2 \ln|x| + \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} \]

\[ = \left[ x + 2 \ln|x| - \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} \]

\[ = \left( 2 + 2 \ln|2| - \frac{1}{2} \right) - \left( 1 + 2 \ln|1| - \frac{1}{1} \right) \]

\[ = \left( 2 + 2 \ln 2 - \frac{1}{2} \right) - (1 + 0 - 1) \]

\[ = 2 + 2 \ln 2 - \frac{1}{2} - 0 \]

\[ = \frac{3}{2} + 2 \ln 2 \]

Ответ: \( \frac{3}{2} + 2 \ln 2 \)