Solve the integral: \(\int_{0}^{1} 3x^{-1} dx\)

Решение:

Данный интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция \( 3x^{-1} = \frac{3}{x} \) имеет разрыв в точке \( x=0 \), которая входит в пределы интегрирования.

Перепишем интеграл как предел:

\[ \int_{0}^{1} \frac{3}{x} dx = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \frac{3}{x} dx \]

Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{a}^{1} \frac{3}{x} dx = \left[ 3 \ln|x| \right]_{a}^{1} = 3 \ln|1| - 3 \ln|a| = 0 - 3 \ln|a| = -3 \ln|a| \]

Теперь найдём предел:

\[ \lim_{a \to 0^+} (-3 \ln|a|) \]

Так как \( \lim_{a \to 0^+} \ln|a| = -\infty \), то \( \lim_{a \to 0^+} (-3 \ln|a|) = -3 \cdot (-\infty) = +\infty \).

Интеграл расходится.

Ответ: Интеграл расходится.