Решение задания 3

Сократите дробь: $$\frac{3x^2 + x - 2}{4 - 9x^2}$$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим числитель: 3x² + x - 2. Найдем корни квадратного уравнения 3x² + x - 2 = 0.

Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

Следовательно, 3x² + x - 2 = 3(x - $$\frac{2}{3}$$)(x + 1) = (3x - 2)(x + 1).

Рассмотрим знаменатель: 4 - 9x² = (2 - 3x)(2 + 3x) = -(3x - 2)(3x + 2).

Теперь сократим дробь:

$$\frac{3x^2 + x - 2}{4 - 9x^2} = \frac{(3x - 2)(x + 1)}{-(3x - 2)(3x + 2)} = -\frac{x + 1}{3x + 2}$$.

Ответ: $$\frac{-(x + 1)}{3x + 2}$$.