Решение задания 1

а) Разложите на множители квадратный трехчлен: x²-14x + 45.

Для разложения квадратного трехчлена вида ax² + bx + c на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Если корни x₁ и x₂ найдены, то трехчлен можно представить в виде a(x - x₁)(x - x₂).

В нашем случае, квадратное уравнение имеет вид x² - 14x + 45 = 0. Найдем дискриминант D:

$$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 cdot 1 cdot 45 = 196 - 180 = 16$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{16}}{2 cdot 1} = \frac{14 + 4}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{16}}{2 cdot 1} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Теперь представим квадратный трехчлен в виде произведения множителей:

$$x^2 - 14x + 45 = (x - 9)(x - 5)$$.

Ответ: $$ (x - 9)(x - 5) $$.

б) Разложите на множители квадратный трехчлен: 3y² + 7y - 6.

Найдем дискриминант D:

$$D = b^2 - 4ac = (7)^2 - 4 cdot 3 cdot (-6) = 49 + 72 = 121$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем корни:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$

Теперь представим квадратный трехчлен в виде произведения множителей:

$$3y^2 + 7y - 6 = 3(y - \frac{2}{3})(y + 3) = (3y - 2)(y + 3)$$.

Ответ: $$(3y - 2)(y + 3)$$.