Сократите дробь: а) $$\frac{x^2 + 2x - 63}{49 - x^2}$$; б) $$\frac{6x^2 + x}{6x^2 - 17x - 3}$$; в) $$\frac{8x - x^2}{x^2 - 3x - 40}$$; г) $$\frac{5x^2 - 12x + 4}{25x^2 - 4}$$.

a) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^2 + 2x - 63 = (x + 9)(x - 7)$$

$$49 - x^2 = (7 - x)(7 + x) = -(x - 7)(x + 7)$$

Сократим дробь:

$$\frac{x^2 + 2x - 63}{49 - x^2} = \frac{(x + 9)(x - 7)}{-(x - 7)(x + 7)} = -\frac{x + 9}{x + 7}$$

б) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$6x^2 + x = x(6x + 1)$$

$$6x^2 - 17x - 3 = (2x - 6)(3x + 0.5) = (2x + 0.117)(3x - 9.117)$$

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно решить квадратное уравнение $$6x^2 - 17x - 3 = 0$$.

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361 = 19^2$$

$$x_1 = \frac{17 + 19}{2 \cdot 6} = \frac{36}{12} = 3$$

$$x_2 = \frac{17 - 19}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

$$6x^2 - 17x - 3 = 6(x - 3)(x + \frac{1}{6}) = (x - 3)(6x + 1)$$

Сократим дробь:

$$\frac{6x^2 + x}{6x^2 - 17x - 3} = \frac{x(6x + 1)}{(x - 3)(6x + 1)} = \frac{x}{x - 3}$$

в) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$8x - x^2 = x(8 - x) = -x(x - 8)$$

$$x^2 - 3x - 40 = (x - 8)(x + 5)$$

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно решить квадратное уравнение $$x^2 - 3x - 40 = 0$$.

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$$

$$x_1 = \frac{3 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{3 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$$

$$x^2 - 3x - 40 = (x - 8)(x + 5)$$

Сократим дробь:

$$\frac{8x - x^2}{x^2 - 3x - 40} = \frac{-x(x - 8)}{(x - 8)(x + 5)} = -\frac{x}{x + 5}$$

г) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$5x^2 - 12x + 4 = (5x - 2)(x - 2)$$

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно решить квадратное уравнение $$5x^2 - 12x + 4 = 0$$.

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 = 8^2$$

$$x_1 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$$

$$x_2 = \frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

$$5x^2 - 12x + 4 = 5(x - 2)(x - \frac{2}{5}) = (x - 2)(5x - 2)$$

$$25x^2 - 4 = (5x - 2)(5x + 2)$$

Сократим дробь:

$$\frac{5x^2 - 12x + 4}{25x^2 - 4} = \frac{(5x - 2)(x - 2)}{(5x - 2)(5x + 2)} = \frac{x - 2}{5x + 2}$$