Смешали 24 кг цемента при температуре 5° С с 30 л воды при температуре 35° С. Определить температуру раствора. Потерями пренебречь. Удельная теплоемкость цемента — 830 Дж/(кг·К).

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения энергии (теплоты) в системе, считая, что теплота, отданная горячим телом, равна теплоте, полученной холодным телом.

Дано:
m_{цемента} = 24 кг
t_{цемента} = 5° C
V_воды = 30 л
t_воды = 35° C
c_{цемента} = 830 Дж/(кг·К)

Найти:
t_{раствора}

Предположения:
1. Потерями теплоты пренебрегаем.
2. Плотность воды примем равной \( \rho_{воды} \approx 1000 \) кг/м³ = 1 кг/л.
3. Удельная теплоемкость воды \( c_{воды} \approx 4200 \) Дж/(кг·К).
4. Теплоемкость цемента принимаем как удельная теплоемкость материала, а не как теплоту, необходимую для нагрева при смешивании.

Перевод единиц:
Масса воды: \( m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V_{воды} = 1 \) кг/л \( \cdot 30 \) л = 30 кг.

Уравнение теплового баланса:

Теплота, отданная водой = Теплота, полученная цементом.

\( Q_{отданная} = Q_{полученная} \)

\( c_{воды} · m_{воды} · (t_{воды} - t_{раствора}) = c_{цемента} · m_{цемента} · (t_{раствора} - t_{цемента}) \)

Подставляем известные значения:

\( 4200 \) Дж/(кг·К) \( · 30 \) кг \( · (35 - t_{раствора}) \)°C = \( 830 \) Дж/(кг·К) \( · 24 \) кг \( · (t_{раствора} - 5) \)°C

\( 126000 · (35 - t_{раствора}) = 19920 · (t_{раствора} - 5) \)

\( 4410000 - 126000 t_{раствора} = 19920 t_{раствора} - 99600 \)

Переносим члены с \( t_{раствора} \) в одну сторону, а числовые значения — в другую:

\( 4410000 + 99600 = 19920 t_{раствора} + 126000 t_{раствора} \)

\( 4509600 = 145920 t_{раствора} \)

\( t_{раствора} = \frac{4509600}{145920} \)

\( t_{раствора} \approx 30.906 \) °C

Ответ: Температура раствора приблизительно 30.9 °C.