Сколько целых чисел расположено между числами: a) -5√6 и √83; б) 3√3 и 4√11; в) -5√6 и -$$\frac{1}{2}$$√68; г) -$$\frac{2}{3}$$√54 и $$\frac{6}{7}$$√147?

Решим каждый пункт по отдельности.

а) -5√6 и √83

• Сначала оценим каждое число: $$ -5\sqrt{6} = -\sqrt{25 \cdot 6} = -\sqrt{150} $$
• Так как $$12^2 = 144$$ и $$13^2 = 169$$, то $$ -13 < -\sqrt{150} < -12 $$
• Аналогично, $$ \sqrt{83} $$ находится между $$9$$ и $$10$$, так как $$9^2 = 81$$ и $$10^2 = 100$$. Значит, $$ 9 < \sqrt{83} < 10 $$
• Целые числа между $$ -5\sqrt{6} $$ и $$ \sqrt{83} $$: -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Всего 22 целых числа.

б) 3√3 и 4√11

• Сначала оценим каждое число: $$ 3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27} $$
• Так как $$5^2 = 25$$ и $$6^2 = 36$$, то $$ 5 < \sqrt{27} < 6 $$
• $$ 4\sqrt{11} = \sqrt{16 \cdot 11} = \sqrt{176} $$
• Так как $$13^2 = 169$$ и $$14^2 = 196$$, то $$ 13 < \sqrt{176} < 14 $$
• Целые числа между $$ 3\sqrt{3} $$ и $$ 4\sqrt{11} $$: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
• Всего 8 целых чисел.

в) -5√6 и -$$\frac{1}{2}$$√68

• Как мы уже знаем, $$ -5\sqrt{6} = -\sqrt{150} $$, и $$ -13 < -\sqrt{150} < -12 $$
• $$ -\frac{1}{2}\sqrt{68} = -\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 68} = -\sqrt{17} $$
• Так как $$4^2 = 16$$ и $$5^2 = 25$$, то $$ -5 < -\sqrt{17} < -4 $$
• Целые числа между $$ -5\sqrt{6} $$ и $$ -\frac{1}{2}\sqrt{68} $$: -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5
• Всего 8 целых чисел.

г) -$$\frac{2}{3}$$√54 и $$\frac{6}{7}$$√147

• $$ -\frac{2}{3}\sqrt{54} = -\frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 6} = -\frac{2}{3} \cdot 3 \sqrt{6} = -2\sqrt{6} = -\sqrt{4 \cdot 6} = -\sqrt{24} $$
• Так как $$4^2 = 16$$ и $$5^2 = 25$$, то $$ -5 < -\sqrt{24} < -4 $$
• $$ \frac{6}{7}\sqrt{147} = \frac{6}{7}\sqrt{49 \cdot 3} = \frac{6}{7} \cdot 7 \sqrt{3} = 6\sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108} $$
• Так как $$10^2 = 100$$ и $$11^2 = 121$$, то $$ 10 < \sqrt{108} < 11 $$
• Целые числа между $$ -\frac{2}{3}\sqrt{54} $$ и $$ \frac{6}{7}\sqrt{147} $$: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
• Всего 15 целых чисел.