3. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 30. Найдите площадь поверхности шара.

Пусть радиус шара равен r. Тогда радиус основания цилиндра также равен r, а высота цилиндра равна 2r (так как шар вписан).

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

\(S_{цилиндра} = 2πr^2 + 2πrh\), где r – радиус основания, h – высота цилиндра.

В нашем случае h = 2r, поэтому:

\(S_{цилиндра} = 2πr^2 + 2πr(2r) = 2πr^2 + 4πr^2 = 6πr^2\)

Известно, что площадь полной поверхности цилиндра равна 30:

\(6πr^2 = 30\)

Отсюда выразим \(πr^2\):

\(πr^2 = \frac{30}{6} = 5\)

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

\(S_{шара} = 4πr^2\)

Подставим найденное значение \(πr^2 = 5\):

\(S_{шара} = 4 \cdot 5 = 20\)

Ответ: 20