Сфера касается граней двугранного угла величиной 90°. Ближайшее расстояние по сфере между точками касания – 20π ед. изм. Определи радиус сферы.

Давайте решим эту задачу вместе! Представим себе двугранный угол, образованный двумя плоскостями, которые касаются сферы. Линия, соединяющая точки касания на сфере, является дугой окружности большого круга. Так как двугранный угол равен 90°, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, также равен 90° (или $$\frac{\pi}{2}$$ радиан). Длина дуги $$L$$ связана с радиусом сферы $$R$$ и центральным углом $$\theta$$ (в радианах) следующим образом: $$\qquad L = R \theta$$ В нашем случае, $$L = 20\pi$$ и $$\theta = \frac{\pi}{2}$$. Подставим эти значения в формулу: $$\qquad 20\pi = R \cdot \frac{\pi}{2}$$ Чтобы найти радиус $$R$$, умножим обе части уравнения на $$\frac{2}{\pi}$$: $$\qquad R = 20\pi \cdot \frac{2}{\pi} = 20 \cdot 2 = 40$$ Таким образом, радиус сферы равен 40. Ответ: R = 40