Середина М стороны AD выпуклого четырехугольника АBCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.

Так как точка M равноудалена от всех вершин четырехугольника ABCD, то она является центром окружности, описанной около этого четырехугольника. Следовательно, AM = BM = CM = DM.

Так как AM = DM, то треугольник AMD - равнобедренный, и AM = MD = R, где R - радиус окружности.

Так как BM = CM, то треугольник BMC - равнобедренный, и BM = MC = R.

Угол B + угол C = 124° + 116° = 240°

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°, следовательно,

угол A + угол D = 360° - 240° = 120°

Треугольник ABM - равнобедренный, следовательно, угол BAM = углу ABM = (180° - 124°)/2 = 28°

Треугольник CDM - равнобедренный, следовательно, угол CDM = углу DCM = (180° - 116°)/2 = 32°

Тогда угол BAD = угол BAM + угол MAD, угол CDA = угол CDM + угол MDA.

Пусть угол MAD = x, угол MDA = y, тогда угол BAD = 28 + x, угол CDA = 32 + y.

Сумма углов BAD и CDA равна 120°, следовательно, 28 + x + 32 + y = 120, x + y = 60.

Так как треугольник AMD - равнобедренный, то угол MAD + угол MDA + угол AMD = 180°, следовательно, x + y + угол AMD = 180, 60 + угол AMD = 180, угол AMD = 120.

По теореме косинусов:

\(AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot cos(120°)\)

\(AD^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot (-0.5)\)

\(AD^2 = 2R^2 + R^2 = 3R^2\)

Аналогично, рассмотрим треугольник BMC:

угол BMC = 360° - угол AMD - угол B - угол C = 360° - 120° - 124° - 116° = 0

Тогда угол BMC = 360° - 120° = 240° - 124° - 116° = 120°

По теореме косинусов:

\(BC^2 = BM^2 + CM^2 - 2 \cdot BM \cdot CM \cdot cos(120°)\)

\(BC^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot (-0.5)\)

\(BC^2 = 2R^2 + R^2 = 3R^2\)

Тогда \(BC^2 = AD^2\), \(BC = AD = 6\)

Ответ: 6