С2. Тело в форме цилиндра плавает в воде в вертикальном положении, будучи погруженным в нее на 80% своего объема. Какая часть тела будет погружена в воду, если поверх нее налить слой бензина, полностью закрывающий тело? (Плотность воды 1000 кг/м³, бензина 700 кг/м³)

Решение:

Пусть \( V \) — полный объем тела, \( \rho_т \) — плотность тела.

Когда тело плавает в воде, сила Архимеда равна весу тела: \( F_A = P \).

\( F_A = \rho_{воды} g V_{погр} \), где \( V_{погр} = 0,8 V \).

\( P = \rho_т g V \).

\( \rho_{воды} g (0,8 V) = \rho_т g V \).

\( 0,8 \rho_{воды} = \rho_т \).

\( \rho_т = 0,8 \times 1000 \text{ кг/м}^3 = 800 \text{ кг/м}^3 \).

Теперь тело плавает в двухслойной жидкости: снизу вода (плотность \( \rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3 \)), сверху бензин (плотность \( \rho_б = 700 \text{ кг/м}^3 \)).

Пусть \( V_{б} \) — объем тела, погруженный в бензин, а \( V_{в} \) — объем тела, погруженный в воду.

Полный объем погруженной части тела \( V_{погр.общ} = V_{б} + V_{в} \).

Вес тела остался прежним: \( P = \rho_т g V = 800 \text{ кг/м}^3 \times g \times V \).

Сила Архимеда в двухслойной жидкости равна сумме сил Архимеда от каждой жидкости:

\( F_{A.общ} = F_{A.б} + F_{A.в} = \rho_б g V_{б} + \rho_в g V_{в} \).

Приравниваем вес тела и общую силу Архимеда:

\( \rho_т g V = \rho_б g V_{б} + \rho_в g V_{в} \).

\( \rho_т V = \rho_б V_{б} + \rho_в V_{в} \).

Мы знаем, что \( V = V_{б} + V_{в} \), значит \( V_{в} = V - V_{б} \).

\( 800 V = 700 V_{б} + 1000 (V - V_{б}) \).

\( 800 V = 700 V_{б} + 1000 V - 1000 V_{б} \).

\( 800 V = 1000 V - 300 V_{б} \).

\( 300 V_{б} = 1000 V - 800 V \).

\( 300 V_{б} = 200 V \).

\( V_{б} = \frac{200}{300} V = \frac{2}{3} V \).

Тогда \( V_{в} = V - V_{б} = V - \frac{2}{3} V = \frac{1}{3} V \).

Объем тела, погруженный в воду, составляет \( \frac{1}{3} \) от полного объема.

Ответ: 1/3 объема тела