С2. Луна движется вокруг Земли с центростремительным ус- корением 0,00272 м/с², масса Луны составляет 7,35-1022 кг, масса Земли 5,98-1024 кг. Рассчитайте расстояние от Земли до Луны.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона и определением центростремительного ускорения.

1. Закон всемирного тяготения: Сила гравитационного притяжения между Землей и Луной равна:

\( F = G \frac{M m}{r^2} \)

Где:

• \( G \) — гравитационная постоянная, \( G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \) Н·м²/кг².
• \( M \) — масса Земли, \( M = 5.98 \cdot 10^{24} \) кг.
• \( m \) — масса Луны, \( m = 7.35 \cdot 10^{22} \) кг.
• \( r \) — расстояние между Землей и Луной (то, что нам нужно найти).

2. Центростремительное ускорение: Сила притяжения сообщает Луне центростремительное ускорение \( a \), равное:

\( F = m a \)

Где \( a = 0.00272 \) м/с² — центростремительное ускорение Луны.

3. Приравниваем силы: Приравниваем выражения для силы гравитационного притяжения:

\( G \frac{M m}{r^2} = m a \)

Сокращаем массу Луны \( m \) с обеих сторон:

\( G \frac{M}{r^2} = a \)

4. Выражаем расстояние \( r \): Теперь выразим \( r^2 \) из полученного уравнения:

\( r^2 = G \frac{M}{a} \)

И, соответственно, \( r \):

\( r = \sqrt{G \frac{M}{a}} \)

5. Подставляем значения и вычисляем:

\( r = \sqrt{ (6.674 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2) \cdot \frac{5.98 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{0.00272 \text{ м/с}^2}} \)

Сначала вычислим дробь внутри корня:

\( \frac{5.98 \cdot 10^{24}}{0.00272} \approx 2.20 \cdot 10^{27} \text{ кг} \cdot \text{с}^2/\text{м}^2 \)

Теперь умножим на \( G \):

\( 6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 2.20 \cdot 10^{27} \approx 14.68 \cdot 10^{16} \text{ м}^2 \)

Теперь извлекаем квадратный корень:

\( r = \sqrt{14.68 \cdot 10^{16} \text{ м}^2} \approx 3.83 \cdot 10^8 \text{ м} \)

Переведем метры в километры:

\( 3.83 \cdot 10^8 \text{ м} = 383000 \text{ км} \)

Ответ: Расстояние от Земли до Луны составляет примерно \( 3.83 \cdot 10^8 \) метров или 383 000 километров.