С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник АВС, если: в) ∠A=80°, a=16, b=10;

Решение:

Нам дан треугольник ABC, где известны один угол и две стороны.

Дано:

• \( \angle A = 80^{\circ} \)
• \( a = 16 \)
• \( b = 10 \)

Найти:

• \( \angle B \)
• \( \angle C \)
• \( c \)

1. Найдём угол B (используя теорему синусов):

Теорема синусов гласит:

\[ \frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} \]

\[ \frac{16}{\sin{80^{\circ}}} = \frac{10}{\sin{B}} \]

Найдём \( \sin{B} \):

\[ \sin{B} = \frac{10 \cdot \sin{80^{\circ}}}{16} \]

Мы знаем, что \( \sin{80^{\circ}} \approx 0.9848 \).

\[ \sin{B} \approx \frac{10 \cdot 0.9848}{16} \]

\[ \sin{B} \approx \frac{9.848}{16} \]

\[ \sin{B} \approx 0.6155 \]

Теперь найдём угол \( B \), используя арксинус:

\[ \angle B = \arcsin(0.6155) \]

\[ \angle B \approx 37.98^{\circ} \]

Округлим до \( 38^{\circ} \).

2. Найдём угол C:

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B \]

\[ \angle C \approx 180^{\circ} - 80^{\circ} - 38^{\circ} \]

\[ \angle C \approx 62^{\circ} \]

3. Найдём сторону c (используя теорему синусов):

\[ \frac{c}{\sin{C}} = \frac{a}{\sin{A}} \]

\[ \frac{c}{\sin{62^{\circ}}} = \frac{16}{\sin{80^{\circ}}} \]

\[ c = \frac{16 \cdot \sin{62^{\circ}}}{\sin{80^{\circ}}} \]

Мы знаем, что \( \sin{62^{\circ}} \approx 0.8829 \) и \( \sin{80^{\circ}} \approx 0.9848 \).

\[ c \approx \frac{16 \cdot 0.8829}{0.9848} \]

\[ c \approx \frac{14.1264}{0.9848} \]

\[ c \approx 14.34 \text{ см} \]

Альтернативный способ найти сторону c (используя теорему косинусов):

Теорема косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{C} \]

Подставим известные значения:

\[ c^2 \approx 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot \cos{62^{\circ}} \]

Мы знаем, что \( \cos{62^{\circ}} \approx 0.4695 \).

\[ c^2 \approx 256 + 100 - 320 \cdot 0.4695 \]

\[ c^2 \approx 356 - 150.24 \]

\[ c^2 \approx 205.76 \]

\[ c \approx \sqrt{205.76} \]

\[ c \approx 14.34 \text{ см} \]

Результаты совпадают.

Ответ: \( \angle B \approx 38^{\circ}, \angle C \approx 62^{\circ}, c \approx 14.34 \text{ см} \).