1.Ромб. Свойства ромба. Квадрат. 2.Свойство биссектрисы угла (формулировка и доказательство). 3. Площади двух подобных треугольников равны 75 и 300. Одна из сторон второго треугольника равна 9. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

1. Ромб. Свойства ромба. Квадрат.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

• Противоположные стороны параллельны.
• Все стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами углов.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

2. Свойство биссектрисы угла:

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.

Доказательство:

Пусть дан угол BAC и биссектриса AD.

Пусть точка E - произвольная точка на биссектрисе AD.

Проведем перпендикуляры EF и EG к сторонам AB и AC соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AEF и AEG.

У них AE - общая гипотенуза, угол FAE равен углу GAE (так как AD - биссектриса).

Следовательно, треугольники AEF и AEG равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что EF = EG.

Следовательно, точка E равноудалена от сторон угла.

3. Дано: площади подобных треугольников равны 75 и 300, сторона второго треугольника равна 9.

Найти: сходственную сторону первого треугольника.

Решение:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$$ \frac{S_1}{S_2} = k^2 $$

$$ k^2 = \frac{75}{300} = \frac{1}{4} $$

$$ k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $$

Следовательно, коэффициент подобия равен $$ \frac{1}{2} $$.

Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия.

$$ \frac{x}{9} = \frac{1}{2} $$

$$ x = \frac{9}{2} = 4,5 $$

Ответ: сходственная сторона первого треугольника равна 4,5.