4. Рис. 677. Найти: ∠AOD, ∠ACD.

Рассмотрим рисунок 677. Нам дано, что \(\angle ABC = 40^\circ\). 1. Нахождение \(\angle AOD\): \(\angle ABC\) - вписанный угол, опирающийся на дугу \(AC\). Центральный угол \(\angle AOC\), опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла. \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\). Так как \(OA = OD\) (радиусы окружности), треугольник \(\triangle AOD\) - равнобедренный. Тогда \(\angle OAD = \angle ODA\). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому: \(\angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^\circ\). Пусть \(\angle OAD = \angle ODA = x\). Тогда: \(\angle AOD + x + x = 180^\circ\). \(\angle AOD = 180^\circ - 2x\). Угол \(\angle AOC\) и угол \(\angle AOD\) являются смежными углами. Их сумма равна 360 градусам (полный оборот вокруг точки O). \(\angle AOD = 360^\circ - \angle AOC = 360^\circ - 80^\circ = 280^\circ\) . Это неправильно, значит мы рассматриваем не тот угол AOD. \(\angle AOD = 2 \cdot \angle ABD\). Тогда \(\angle AOD = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\). 2. Нахождение \(\angle ACD\): \(\angle ACD\) - вписанный угол, опирающийся на дугу \(AD\). Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. \(\angle ACD = \frac{1}{2} \angle AOD\). \(\angle ACD = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ\). Ответ: * \(\angle AOD = 80^\circ\) * \(\angle ACD = 40^\circ\) Развёрнутый ответ: Чтобы решить данную задачу, необходимо вспомнить свойства вписанных и центральных углов в окружности. Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Также важно помнить, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Используя эти знания, мы смогли найти значения углов \(\angle AOD\) и \(\angle ACD\).