Рис. 115. MNKP – параллелограмм. Найти: МР, РК.

Рассмотрим параллелограмм MNKP на рисунке 115.

∠N = 60°.

NE перпендикулярен MP. Следовательно, ΔMEN - прямоугольный.

ME = 2 см, MN = 10 см.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, ∠M = 30°.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, MP = NK, MN = PK.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MEN. $$ME = MN \cdot sin(60^\circ)$$. $$ME = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

По теореме Пифагора: $$NE = \sqrt{MN^2 - ME^2}$$. $$NE = \sqrt{10^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 - 75} = \sqrt{25} = 5$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник NEP. $$EP = \sqrt{NP^2 - NE^2}$$. $$NP = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}$$. $$MP = ME + EP = 2 + \sqrt{29}$$

Ответ: MP = 2 + √29 см, PK = 10 см.