Рис. 650. Дано: АВ – касательная, R = 6, АО = OB. Найти: АО.

Пусть O – центр окружности, AB – касательная к окружности. Так как AB – касательная, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть OC ⊥ AB, где C – точка касания.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как AO = OB, то треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB. OC – высота, проведенная к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, и биссектрисой. То есть AC = CB = AB/2 = 16/2 = 8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACO. В нем AO – гипотенуза, OC – катет (радиус окружности, OC = R = 6), AC – катет (AC = 8). По теореме Пифагора:

$$AO^2 = OC^2 + AC^2$$

$$AO^2 = 6^2 + 8^2$$

$$AO^2 = 36 + 64$$

$$AO^2 = 100$$

$$AO = \sqrt{100} = 10$$

Ответ: AO = 10.