Решите задачу, подробно показав формулы и расчеты: На дифракционную решётку, имеющую 500 штрихов на 1 мм, перпендикулярно ей, падает плоская монохроматическая волна. Какова длина падающей волны, если спектр 4-ого порядка наблюдается в направлении, перпендикулярном падающим лучам?

Решение:

Формула дифракционной решетки:

\( d × ³α = k × λ \)

Где:

• \( d \) — период решетки (расстояние между соседними штрихами);


• \( ³α \) — угол дифракции;


• \( k \) — порядок спектра;


• \( λ \) — длина волны.

1. Найдем период решетки \( d \):

На решетке 500 штрихов на 1 мм. Значит, на 1 см приходится \( 500 × 10 = 5000 \) штрихов.

\( d = \frac{1 \text{ мм}}{500} = \frac{0.001 \text{ м}}{500} = 2 × 10^{-6} \text{ м} \)

2. Определим угол дифракции \( ³α \):

Спектр 4-ого порядка наблюдается в направлении, перпендикулярном падающим лучам. Это означает, что \( ³α = 90^\circ \). Однако, в условии задачи сказано "в направлении, перпендикулярном падающим лучам", что обычно соответствует \( ³α = 90^\circ \) только в случае, когда \( d \) слишком мал для данного порядка \( k \) и \( λ \). Но если спектр наблюдается перпендикулярно, то это значит, что \( ³α = 90^\circ \). Однако, при \( ³α = 90^\circ \) уравнение дифракционной решетки \( d × ³α = k × λ \) не имеет смысла, так как \( ³α \) должно быть в пределах \( [-1; 1] \) для \( ³α \) или \( ³α \) как угол. При \( ³α = 90^\circ \) условие максимума \( d × ³α = k × λ \) превращается в \( d = k × λ \). Это означает, что направление перпендикулярное падающим лучам соответствует первому максимуму, если \( d = λ \). Но здесь сказано, что спектр 4-ого порядка. В данной формулировке задачи есть противоречие. Если предположить, что "в направлении, перпендикулярном падающим лучам" означает \( ³α = 90^\circ \), то это условие для максимума соответствует \( k=0 \) (центральный максимум), либо \( d = λ \) для \( k=1 \). Если же это действительно 4-й порядок, то направление не может быть перпендикулярным. Будем считать, что в условии ошибка и \( ³α \) не равно \( 90^\circ \). Однако, если принять, что \( ³α \) = 90 градусов, то \( d × ³α = k × λ \) будет \( d = k × λ \) только если \( ³α \) - это синус угла. Если \( ³α = 90^\circ \), то \( ³α = 1 \). Тогда \( d = k × λ \).

3. Найдем длину волны \( λ \):

\( λ = \frac{d}{k} = \frac{2 × 10^{-6} \text{ м}}{4} = 0.5 × 10^{-6} \text{ м} = 500 × 10^{-9} \text{ м} = 500 \text{ нм} \)

Ответ: 500 нм