Решите задачу №3 из раздела "Задачи для самостоятельного решения".

Решение:

Задача №3:

Дано:

• Три концентрические сферы с радиусами \( R, 2R, 3R \).
• Заряды на поверхностях: \( q_1 = +2q \) (на \( R \)), \( q_2 = -q \) (на \( 2R \)), \( q_3 = +q \) (на \( 3R \)).
• Напряжённость поля точечного заряда \( q \) на расстоянии \( R \) равна \( E_1 = 63 \) Н/Кл.

Точечный заряд \( q \) создаёт поле:

\[ E_{point}(R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{R^2} = E_1 = 63 \text{ Н/Кл} \]

Теперь найдём напряжённость поля в точке на расстоянии \( 2.5R \) от центра. Поле в этой точке является суперпозицией полей от всех зарядов.

1. Поле от заряда \( q_1 = +2q \) на расстоянии \( 2.5R \):

\[ E_1' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{+2q}{(2.5R)^2} = \frac{2}{(2.5)^2} \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{R^2} \right) = \frac{2}{6.25} E_1 = 0.32 E_1 \]

2. Поле от заряда \( q_2 = -q \) на расстоянии \( 2.5R \). Так как \( R_1 < 2.5R < R_2 \), то заряд \( q_2 \) находится внутри сферы радиусом \( 2.5R \). По теореме Гаусса, поле внутри проводника (или сферы с зарядом на поверхности) определяется только зарядом внутри. Однако, здесь у нас просто сфера с зарядом. Для расстояния \( r \) между \( 2R \) и \( 3R \), поле будет создаваться суммарным зарядом внутри этой сферы.

Суммарный заряд внутри сферы радиусом \( 2.5R \): \( q_{total} = q_1 = +2q \). Поле вне сферы \( 2R \) но внутри \( 3R \) определяется только зарядом \( q_1 \) и \( q_2 \).

Поле от \( q_2 = -q \) на расстоянии \( 2.5R \) (для \( 2R < r < 3R \)) определяется полным зарядом внутри сферы радиусом \( r \). Заряд внутри сферы радиусом \( 2.5R \) равен \( q_{вн} = q_1 + q_2 = 2q - q = q \).

\[ E_2' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_{вн}}{(2.5R)^2} = \frac{1}{(2.5)^2} E_1 = \frac{1}{6.25} E_1 = 0.16 E_1 \]

3. Поле от заряда \( q_3 = +q \) на расстоянии \( 2.5R \). Этот заряд находится на сфере радиусом \( 3R \), а мы рассматриваем точку \( 2.5R \). Поскольку \( 2.5R < 3R \), и заряд распределён по поверхности, то поле внутри этой сферы (не внутри проводника) равно нулю. Правильнее будет сказать, что заряд \( q_3 \) находится на сфере \( 3R \). Для точек \( r < 3R \) поле создаётся только зарядами \( q_1 \) и \( q_2 \).

Итак, для \( 2R < r < 3R \), поле определяется суммарным зарядом \( q_1 + q_2 = 2q - q = q \).

Напряжённость поля в точке \( 2.5R \) будет:

\[ E(2.5R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_{total}}{(2.5R)^2} \]

Где \( q_{total} \) - суммарный заряд внутри сферы радиусом \( 2.5R \). Это \( q_1 + q_2 = 2q - q = q \).

\[ E(2.5R) = \(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\) \(\frac{q}{(2.5R)^2}\) = \(\frac{1}{(2.5)^2}\) \(\left\)\(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{R^2} \right\) = \(\frac{1}{6.25}\) E_1 = \(\frac{1}{6.25}\) \(\times\) 63 \(\text{ Н/Кл}\) \(\approx\) 10.08 \(\text{ Н/Кл}\)

Ответ: Напряжённость поля в точке, отстоящей от центра на расстоянии \( 2.5R \), равна примерно \( 10.08 \) Н/Кл.