Решите задачу №2 из раздела "Задачи для самостоятельного решения".

Решение:

Задача №2:

Дано:

• Точечный заряд \( q = 10^{-9} \) Кл
• Относительная диэлектрическая проницаемость \( \epsilon = 2 \)
• Внутренний радиус оболочки \( R_1 = 5 \) см = \( 0.05 \) м
• Внешний радиус оболочки \( R_2 = 6 \) см = \( 0.06 \) м

Напряжённость электрического поля точечного заряда в диэлектрике равна:

\[ E(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon} \frac{q}{r^2} \]

Где \( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \) Н⋅м²/Кл².

Таким образом, \( E(r) = \frac{9 \times 10^9 \times 2}{r^2} \) Н/Кл = \( \frac{18 \times 10^9}{r^2} \) Н/Кл.

1. Внутри оболочки (\( r \le R_1 \) и \( r \ge R_2 \))

Закон сохранения потока вектора напряжённости (теорема Гаусса) для сферической поверхности радиусом \( r \) (при \( R_1 < r < R_2 \)) даёт:

\[ \oint \vec{E} d\vec{S} = \frac{q_{вн}}{\epsilon_0} \]

\( E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \) (снаружи, поле создаётся только зарядом \( q \))

\[ E(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{r^2} = \frac{9}{r^2} \] Н/Кл.

2. В диэлектрике (\( R_1 < r < R_2 \))

Закон Гаусса с учётом диэлектрика:

\[ \oint \epsilon \vec{E} d\vec{S} = \frac{q_{вн}}{\epsilon_0} \]

\[ E(r) \cdot \epsilon \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \]

\[ E(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon} \frac{q}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2 \times r^2} = \frac{4.5}{r^2} \] Н/Кл.

График зависимости \( E(r) \) от \( r \):

Ответ: Напряжённость поля \( E(r) = \frac{9}{r^2} \) для \( r \le R_1 \) и \( r \ge R_2 \), и \( E(r) = \frac{4.5}{r^2} \) для \( R_1 < r < R_2 \). График показан выше.