Решение задач

Задача 1

Дано:

• Скорость по течению: $$v = 10 \text{ м/с}$$
• Скорость против течения: $$u = 8 \text{ м/с}$$

Найти:

• Скорость течения: $$v_1 = ?$$
• Скорость лодки в стоячей воде: $$v_2 = ?$$

Решение:

Обозначим скорость течения реки за $$v_1$$, а скорость лодки в стоячей воде за $$v_2$$. Тогда:

• Скорость по течению: $$v = v_2 + v_1$$
• Скорость против течения: $$u = v_2 - v_1$$

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} v_2 + v_1 = 10 \\ v_2 - v_1 = 8 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$2v_2 = 18$$

Отсюда:

$$v_2 = \frac{18}{2} = 9 \text{ м/с}$$

Подставим значение $$v_2$$ в первое уравнение:

$$9 + v_1 = 10$$

Отсюда:

$$v_1 = 10 - 9 = 1 \text{ м/с}$$

Ответ:

• Скорость течения: $$v_1 = 1 \text{ м/с}$$
• Скорость лодки в стоячей воде: $$v_2 = 9 \text{ м/с}$$

Задача 2

Дано:

• Время движения по течению: $$t_1 = 3 \text{ ч}$$
• Время движения плота: $$t_2 = 12 \text{ ч}$$

Найти:

• Время движения против течения: $$t_3 = ?$$

Решение:

Пусть $$S$$ - расстояние между пунктами A и B, $$v_л$$ - скорость лодки в стоячей воде, $$v_т$$ - скорость течения реки.

Тогда:

• Скорость лодки по течению: $$v_л + v_т$$
• Скорость лодки против течения: $$v_л - v_т$$

Из условия задачи известно, что плот проплывает расстояние между пунктами за 12 часов, следовательно:

$$v_т = \frac{S}{t_2} = \frac{S}{12}$$

Моторная лодка проходит это же расстояние по течению за 3 часа:

$$v_л + v_т = \frac{S}{t_1} = \frac{S}{3}$$

Подставим выражение для скорости течения:

$$v_л + \frac{S}{12} = \frac{S}{3}$$

Выразим скорость лодки:

$$v_л = \frac{S}{3} - \frac{S}{12} = \frac{4S - S}{12} = \frac{3S}{12} = \frac{S}{4}$$

Теперь найдем время, за которое лодка пройдет обратный путь (против течения):

$$t_3 = \frac{S}{v_л - v_т} = \frac{S}{\frac{S}{4} - \frac{S}{12}} = \frac{S}{\frac{3S - S}{12}} = \frac{S}{\frac{2S}{12}} = \frac{S \cdot 12}{2S} = \frac{12}{2} = 6 \text{ ч}$$

Ответ: 6 часов