Решите выражение: $$\frac{5x-6}{x^2-4} + \frac{x}{x^2-4} : \frac{x-2}{x+2}$$

Решение:

1. Сначала упростим деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь: $$\frac{x}{x^2-4} : \frac{x-2}{x+2} = \frac{x}{x^2-4} \cdot \frac{x+2}{x-2}$$
2. Разложим знаменатель $$x^2 - 4$$ на множители, используя формулу разности квадратов: $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$. Тогда: $$\frac{x}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x-2} = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)(x-2)} = \frac{x}{(x-2)^2}$$
3. Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную дробь: $$\frac{5x-6}{x^2-4} + \frac{x}{(x-2)^2} = \frac{5x-6}{(x-2)(x+2)} + \frac{x}{(x-2)^2}$$
4. Приведем дроби к общему знаменателю $$(x-2)^2(x+2)$$. Для этого первую дробь умножим на $$(x-2)$$, а вторую на $$(x+2)$$: $$\frac{(5x-6)(x-2)}{(x-2)^2(x+2)} + \frac{x(x+2)}{(x-2)^2(x+2)} = \frac{(5x-6)(x-2) + x(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}$$
5. Раскроем скобки в числителе: $$(5x-6)(x-2) = 5x^2 - 10x - 6x + 12 = 5x^2 - 16x + 12$$ $$x(x+2) = x^2 + 2x$$ Теперь сложим числители: $$5x^2 - 16x + 12 + x^2 + 2x = 6x^2 - 14x + 12$$
6. Подставим полученный числитель в дробь: $$\frac{6x^2 - 14x + 12}{(x-2)^2(x+2)}$$
7. Вынесем 2 за скобки в числителе: $$\frac{2(3x^2 - 7x + 6)}{(x-2)^2(x+2)}$$

Ответ: $$\frac{2(3x^2 - 7x + 6)}{(x-2)^2(x+2)}$$