4. Решите уравнения: а) (2 балла) х³-4x2x+4=0 6) (2 балла) (х-1)4 + 4 = 4(x - 1)2

Ответ: а) x = -1, x = 2, x = 2; б) x = 1 - √3, x = 1 + √3

Решение:

а) Решим уравнение x³ - 4x² - x + 4 = 0:

1. Сгруппируем члены: (x³ - 4x²) + (-x + 4) = 0
2. Вынесем общий множитель в каждой группе: x²(x - 4) - 1(x - 4) = 0
3. Вынесем общий множитель (x - 4): (x² - 1)(x - 4) = 0
4. Разложим (x² - 1) как разность квадратов: (x - 1)(x + 1)(x - 4) = 0
5. Приравняем каждый множитель к нулю:
   • x - 1 = 0 → x = 1
   • x + 1 = 0 → x = -1
   • x - 4 = 0 → x = 4

б) Решим уравнение (x - 1)⁴ + 4 = 4(x - 1)²:

1. Введем замену: y = (x - 1)²
2. Тогда уравнение примет вид: y² + 4 = 4y
3. Перенесем все члены в одну сторону: y² - 4y + 4 = 0
4. Заметим, что это полный квадрат: (y - 2)² = 0
5. Следовательно, y = 2
6. Вернемся к замене: (x - 1)² = 2
7. Извлечем квадратный корень из обеих частей: x - 1 = ±√2
8. Выразим x: x = 1 ± √2

Ответ: а) x = -1, x = 1, x = 4; б) x = 1 - √2, x = 1 + √2