1. Решите уравнение log (x² - 3x) = -1

Решение:

Логарифм числа b по основанию a равен c, если a в степени c равно b. В нашем случае, основание логарифма равно \(\frac{1}{4}\), а значение логарифма равно -1.

Запишем уравнение в виде:

\[\log_{\frac{1}{4}}(x^2 - 3x) = -1\]

По определению логарифма:

\[(\frac{1}{4})^{-1} = x^2 - 3x\]

Так как \((\frac{1}{4})^{-1} = 4\), получаем:

\[x^2 - 3x = 4\]

Перенесем 4 в левую часть уравнения:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

\[D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\]

Найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Проверим корни на допустимость. Выражение под логарифмом должно быть больше нуля:

\[x^2 - 3x > 0\]

Для x = 4:

\[4^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4 > 0\]

Для x = -1:

\[(-1)^2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4 > 0\]

Оба корня удовлетворяют условию.