20 Решите уравнение $$\frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{2}{x-1} - 3 = 0.$$

Для решения данного уравнения, давай сделаем замену переменной. Пусть $$t = \frac{1}{x-1}$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 2t - 3 = 0$$

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Теперь вернемся к замене и найдем x:

1. Если $$t_1 = 1$$, то $$\frac{1}{x-1} = 1$$, отсюда $$x - 1 = 1$$, значит $$x_1 = 2$$.
2. Если $$t_2 = -3$$, то $$\frac{1}{x-1} = -3$$, отсюда $$x - 1 = -\frac{1}{3}$$, значит $$x_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$.

Ответ: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = \frac{2}{3}$$