Решите уравнение \( (x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2) \).

Решение:

Дано уравнение \( (x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2) \).

1. Заметим, что \( x^2+4x+4 \) является полным квадратом: \( (x+2)^2 \).
2. Подставим это в уравнение: \( (x-1)(x+2)^2 = 4(x+2) \).
3. Перенесём всё в левую часть: \( (x-1)(x+2)^2 - 4(x+2) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x+2) \): \( (x+2) [ (x-1)(x+2) - 4 ] = 0 \).
5. Раскроем скобки во второй части: \( (x+2) [ x^2 + 2x - x - 2 - 4 ] = 0 \).
6. Упростим выражение в квадратных скобках: \( (x+2) [ x^2 + x - 6 ] = 0 \).
7. Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 6 = 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). Корни: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \).
8. \( x_1 = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
9. \( x_2 = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
10. Таким образом, у нас есть три множителя, равных нулю: \( x+2=0 \) или \( x+2=0 \) или \( x-2=0 \) или \( x+3=0 \).
11. Отсюда получаем корни: \( x = -2 \), \( x = 2 \) и \( x = -3 \).

Ответ: \( x = -3, x = -2, x = 2 \).