Постройте график функции \( y = \frac{4|x|-1}{|x|-4x^2} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) не имеет с графиком общих точек.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = \frac{4|x|-1}{|x|-4x^2} \).

1. Область определения:

Знаменатель не должен быть равен нулю: \( |x|-4x^2 \neq 0 \).

• Если \( x > 0 \), то \( |x|=x \). \( x - 4x^2 \neq 0 \) \( \Rightarrow x(1-4x) \neq 0 \) \( \Rightarrow x \neq 0 \) и \( x \neq \frac{1}{4} \).
• Если \( x < 0 \), то \( |x|=-x \). \( -x - 4x^2 \neq 0 \) \( \Rightarrow -x(1+4x) \neq 0 \) \( \Rightarrow x \neq 0 \) и \( x \neq -\frac{1}{4} \).
• \( x=0 \) не входит в область определения.

Таким образом, \( D(y) = (-\infty, -\frac{1}{4}) \cup (-\frac{1}{4}, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, +\infty) \).

2. Анализ функции:

Функция чётная, так как \( y(-x) = \frac{4|-x|-1}{|-x|-4(-x)^2} = \frac{4|x|-1}{|x|-4x^2} = y(x) \).

Достаточно построить график для \( x > 0 \), а затем отразить его относительно оси \( Oy \).

Для \( x > 0 \):

\( y = \frac{4x-1}{x-4x^2} = \frac{4x-1}{x(1-4x)} \).

• Нули функции: \( 4x-1 = 0 \) \( \Rightarrow x = \frac{1}{4} \). Но \( x = \frac{1}{4} \) не входит в область определения.
• Асимптоты:
  • Вертикальные: \( x=0 \) и \( x=\frac{1}{4} \).
  • Горизонтальные: \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x-1}{x-4x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4/x - 1/x^2}{1 - 4x} = 0 \). Горизонтальная асимптота \( y=0 \).

3. Построение графика для \( x > 0 \):

При \( x \to 0^+ \), \( y \to \frac{-1}{0^+ • 1} = -\infty \).

При \( x \to \frac{1}{4}^+ \), \( y = \frac{4x-1}{x(1-4x)} \). Числитель \( \to 0^+ \), знаменатель \( \to \frac{1}{4} \cdot 0^- = 0^- \). \( y \to -\infty \).

При \( x \to \frac{1}{4}^- \), \( y = \frac{4x-1}{x(1-4x)} \). Числитель \( \to 0^- \), знаменатель \( \to \frac{1}{4} \cdot 0^+ = 0^+ \). \( y \to +\infty \).

4. График для \( x < 0 \):

Отражаем график для \( x > 0 \) относительно оси \( Oy \).

5. Анализ прямой \( y = kx \):

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат (0, 0). Однако, точка (0, 0) не входит в область определения функции.

Нам нужно найти такие \( k \), при которых прямая \( y=kx \) не пересекает график функции.

Уравнение пересечения: \( kx = \frac{4|x|-1}{|x|-4x^2} \).

Случай 1: \( x > 0 \).

\[ kx = \frac{4x-1}{x-4x^2} \]\[ kx(x-4x^2) = 4x-1 \]\[ kx^2 - 4kx^3 = 4x-1 \]\[ 4kx^3 - kx^2 + 4x - 1 = 0 \]

Случай 2: \( x < 0 \).

\[ kx = \frac{-4x-1}{-x-4x^2} = \frac{4x+1}{x+4x^2} \]\[ kx(x+4x^2) = 4x+1 \]\[ kx^2 + 4kx^3 = 4x+1 \]\[ 4kx^3 + kx^2 - 4x - 1 = 0 \]

Прямая \( y=kx \) проходящая через начало координат, НЕ будет пересекать график, если \( k \) таков, что уравнение не имеет решений. Рассмотрим возможные значения \( k \).

Если \( k=0 \), то \( y=0 \). Прямая \( y=0 \) совпадает с горизонтальной асимптотой. График функции приближается к \( y=0 \) при \( |x| \to \infty \), но никогда не достигает её, так как \( 4|x|-1 \neq 0 \). Значит, при \( k=0 \) пересечений нет.

Рассмотрим касательные к графику, проходящие через начало координат. Угловой коэффициент касательной в точке \( (x_0, y_0) \) равен \( y'(x_0) \).

Для \( x > 0 \), \( y = \frac{4x-1}{x-4x^2} \). \( y' = \frac{4(x-4x^2) - (4x-1)(1-8x)}{(x-4x^2)^2} = \frac{4x-16x^2 - (4x-32x^2-1+8x)}{(x-4x^2)^2} = \frac{4x-16x^2 - 12x+32x^2+1}{(x-4x^2)^2} = \frac{16x^2-8x+1}{(x-4x^2)^2} = \frac{(4x-1)^2}{(x(1-4x))^2} = \frac{(4x-1)^2}{x^2(1-4x)^2} \).

Если прямая \( y=kx \) касается графика в точке \( (x_0, y_0) \) для \( x_0 > 0 \), то \( k = y'(x_0) \) и \( y_0 = kx_0 \).

\[ \frac{4x_0-1}{x_0-4x_0^2} = kx_0 \]\[ \frac{(4x_0-1)^2}{(x_0-4x_0^2)^2} = k \]

Из \( kx_0^2 - 4kx_0^3 + 4x_0 - 1 = 0 \) и \( k = \frac{4x_0-1}{x_0-4x_0^2} \), подставим \( k \) во второе уравнение:

\[ \frac{4x_0-1}{x_0-4x_0^2} x_0^2 - 4\left(\frac{4x_0-1}{x_0-4x_0^2}\right) x_0^3 + 4x_0 - 1 = 0 \]

Это приводит к сложным вычислениям. Проще рассмотреть поведение функции.

Функция имеет вертикальные асимптоты \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{4} \) (и \( x = -\frac{1}{4} \) для \( x < 0 \)).

График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси \( Oy \).

Для \( x > 0 \):

• \( y \to -\infty \) при \( x \to 0^+ \)
• \( y \to -\infty \) при \( x \to (\frac{1}{4})^+ \)
• \( y \to +\infty \) при \( x \to (\frac{1}{4})^- \)
• \( y \to 0 \) при \( x \to +\infty \)

Прямая \( y = kx \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( k \) таково, что \( kx = y(x) \) не имеет решений.

Если \( k < 0 \), то прямая \( y=kx \) будет иметь отрицательные значения \( y \) для \( x > 0 \).

Рассмотрим случай \( k < 0 \). Пусть \( k = -c \), где \( c > 0 \).

\( -cx = \frac{4x-1}{x-4x^2} \) для \( x > 0 \).

\[ -cx(x-4x^2) = 4x-1 \]\[ -cx^2 + 4cx^3 = 4x-1 \]\[ 4cx^3 - cx^2 - 4x + 1 = 0 \]

Это кубическое уравнение.

Заметим, что \( y = \frac{4|x|-1}{|x|-4x^2} \). Если \( |x| \to \infty \), \( y \to 0 \).

Если \( k = 0 \), то \( y=0 \). График не пересекает ось \( Ox \), так как \( 4|x|-1 \neq 0 \). Значит \( k=0 \) — одно из решений.

Рассмотрим пределы функции:

• \( \lim_{x \to 0^+} y(x) = -\infty \)
• \( \lim_{x \to 0^-} y(x) = -\infty \)
• \( \lim_{x \to (1/4)^+} y(x) = -\infty \)
• \( \lim_{x \to (1/4)^-} y(x) = +\infty \)
• \( \lim_{x \to (-1/4)^+} y(x) = +\infty \)
• \( \lim_{x \to (-1/4)^-} y(x) = -\infty \)

Если \( k < 0 \), то прямая \( y = kx \) будет иметь отрицательные значения для \( x > 0 \) и положительные для \( x < 0 \).

Ветви графика функции для \( x > 0 \) стремятся к \( -\infty \) при \( x \to 0^+ \) и \( x \to (1/4)^+ \).

Если \( k \) будет меньше некоторого отрицательного значения, прямая \( y = kx \) не пересечет эти ветви.

Проверим граничные случаи. Если \( k \) равно угловому коэффициенту касательной, проходящей через начало координат.

Рассмотрим точку, где \( y = kx \) и \( y = \frac{4x-1}{x-4x^2} \).

\[ kx = \frac{4x-1}{x-4x^2} \]

Для \( x < 0 \), \( kx = \frac{4x+1}{x+4x^2} \).

Если \( k = -4 \) (это значение из знаменателя, когда \( x \to \pm \infty \)), то \( y = -4x \).

Для \( x > 0 \): \( -4x = \frac{4x-1}{x-4x^2} \) \( \Rightarrow -4x(x-4x^2) = 4x-1 \) \( \Rightarrow -4x^2+16x^3 = 4x-1 \) \( \Rightarrow 16x^3-4x^2-4x+1=0 \).

Для \( x < 0 \): \( -4x = \frac{4x+1}{x+4x^2} \) \( \Rightarrow -4x(x+4x^2) = 4x+1 \) \( \Rightarrow -4x^2-16x^3 = 4x+1 \) \( \Rightarrow 16x^3+4x^2+4x+1=0 \).

Проверим, есть ли пересечение при \( k=-4 \).

При \( x=1/2 \), \( y = \frac{4(1/2)-1}{1/2-4(1/4)} = \frac{2-1}{1/2-1} = \frac{1}{-1/2} = -2 \).

\( y = kx \) \( \Rightarrow -2 = k(1/2) \) \( \Rightarrow k = -4 \).

Значит, при \( k = -4 \) есть касание (и пересечение).

Угловой коэффициент касательной при \( x \to ∞ \) равен 0.

При \( x \to 0^+ \), \( y \to -\infty \). Любая прямая \( y=kx \) с \( k < 0 \) пересечет эту ветвь.

При \( x \to (1/4)^+ \), \( y \to -\infty \).

При \( x \to (-1/4)^- \), \( y \to -\infty \).

Рассмотрим значение \( k \) такое, что прямая \( y=kx \) проходит через точки \( (-1/4, +\infty) \) и \( (1/4, +\infty) \). Это невозможно, т.к. \( y=kx \) проходит через (0,0).

Если \( k \) равно угловому коэффициенту прямой, проходящей через начало координат и точку \( (-1/4, y_{(-1/4)}) \). Но \( y(-1/4) \) стремится к \( +\infty \) и \( -\infty \).

Прямая \( y=kx \) не имеет общих точек с графиком, когда \( k \) находится вне диапазона значений, которые принимает функция, или когда \( k \) соответствует касательной, которая не пересекает график более нигде.

Если \( k=0 \), то \( y=0 \), нет пересечений.

Рассмотрим пределы функции:

• \( \lim_{x \to ±∞} y(x) = 0 \)

Прямая \( y=kx \) не будет пересекать график, если \( k \) меньше минимального значения, которое функция принимает на определённом интервале, или больше максимального.

Из-за вертикальных асимптот функция стремится к \( \pm\infty \).

Значение \( k=-4 \) является касательным, то есть прямая \( y=-4x \) касается графика. Для \( x > 0 \) и \( x < 0 \).

Если \( k < -4 \), то прямая \( y=kx \) будет пересекать график.

Если \( k > -4 \) и \( k < 0 \), то прямая \( y=kx \) не будет пересекать график.

Например, при \( k = -1 \): \( -x = \frac{4|x|-1}{|x|-4x^2} \).

Для \( x > 0 \): \( -x = \frac{4x-1}{x-4x^2} \) \( \Rightarrow -x(x-4x^2) = 4x-1 \) \( \Rightarrow -x^2+4x^3 = 4x-1 \) \( \Rightarrow 4x^3-x^2-4x+1=0 \).

Для \( x < 0 \): \( -x = \frac{-4x-1}{-x-4x^2} = \frac{4x+1}{x+4x^2} \) \( \Rightarrow -x(x+4x^2) = 4x+1 \) \( \Rightarrow -x^2-4x^3 = 4x+1 \) \( \Rightarrow 4x^3+x^2+4x+1=0 \).

При \( k=0 \) нет пересечений.

При \( k=-4 \) есть касание.

Рассмотрим случай \( k < 0 \). Если \( k < -4 \), то прямая \( y=kx \) будет пересекать график.

Если \( -4 < k < 0 \), прямая \( y=kx \) не пересекает график.

Значение \( k \) должно быть таким, чтобы прямая \( y=kx \) проходила через точки, где график уходит в \( \pm\infty \) (недоступно напрямую через \( y=kx \)), или касалась графика.

Вертикальные асимптоты: \( x=0 \) (не в области определения) и \( x=\pm 1/4 \).

Горизонтальная асимптота: \( y=0 \).

При \( k=0 \), \( y=0 \) - не пересекает.

При \( k=-4 \) - касание.

Для \( x > 0 \), ветви функции идут в \( -\infty \) при \( x \to 0^+ \) и \( x \to (1/4)^+ \).

Для \( x < 0 \), ветви функции идут в \( -\infty \) при \( x \to 0^- \) и \( x \to (-1/4)^- \).

Ветви функции идут в \( +\infty \) при \( x \to (1/4)^- \) и \( x \to (-1/4)^+ \).

Если \( k \) меньше -4, то прямая \( y=kx \) пересекает ветви, стремящиеся к \( -\infty \).

Если \( k \) больше -4 (и \( k < 0 \)), то прямая \( y=kx \) не пересекает ветви, стремящиеся к \( -\infty \).

Если \( k > 0 \), прямая \( y=kx \) будет пересекать ветви, стремящиеся к \( +\infty \).

Значит, \( k \) должно быть в интервале \( (-4, 0] \).

Ответ: \( k \in (-4, 0] \).