Решите уравнение: 1) x⁴ – 3x² – 4 = 0; 2) \frac{x^2 - 2x}{x - 7} = \frac{35}{x - 7}.

Решение:

1) x⁴ – 3x² – 4 = 0

• Введем замену: y = x². Тогда уравнение примет вид:

\[y^2 - 3y - 4 = 0\]

• Решим квадратное уравнение относительно y:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\] \[y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4\] \[y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1\]

• Вернемся к замене:

\[x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\] \[x^2 = -1 \Rightarrow \text{нет решений}\]

2) \(\frac{x^2 - 2x}{x - 7} = \frac{35}{x - 7}\)

• ОДЗ: x ≠ 7
• Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

\[x^2 - 2x = 35\] \[x^2 - 2x - 35 = 0\] \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7\quad \text{(не подходит, т.к. x ≠ 7)}\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5\]