Сократите дробь \(\frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - 1}\).

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель \(4a^2 + a - 3\) на множители. Для этого решим квадратное уравнение \(4a^2 + a - 3 = 0\).

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$$

Найдем корни:

$$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$ $$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$$

Тогда числитель можно разложить на множители следующим образом:

$$4a^2 + a - 3 = 4(a - \frac{3}{4})(a + 1) = (4a - 3)(a + 1)$$

2. Разложим знаменатель \(a^2 - 1\) на множители, используя формулу разности квадратов:

$$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$

3. Теперь запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:

$$\frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - 1} = \frac{(4a - 3)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)}$$

4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель \((a + 1)\), при условии, что \(a
eq -1\):

$$\frac{(4a - 3)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{4a - 3}{a - 1}$$

Ответ: \(\frac{4a - 3}{a - 1}\)