Решите уравнение: корень из х + корень из х - 2 = 2

Решение:

1. Изолируем один из корней: \( \sqrt{x} = 2 - \sqrt{x-2} \)
2. Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 = (2 - \sqrt{x-2})^2 \)
3. Получаем: \( x = 4 - 4\sqrt{x-2} + (x-2) \)
4. Упрощаем: \( x = 4 - 4\sqrt{x-2} + x - 2 \)
5. \( x = x + 2 - 4\sqrt{x-2} \)
6. \( 0 = 2 - 4\sqrt{x-2} \)
7. Изолируем корень: \( 4\sqrt{x-2} = 2 \)
8. \( \sqrt{x-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
9. Возведем обе части в квадрат: \( x-2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)
10. Решаем линейное уравнение: \( x = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \)
11. Проверка: \( \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{9}{4} - 2} = \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{8}{4}} = \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Верно.

Ответ: x = \(\frac{9}{4}\).