579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x2 – 2x – 9 = 0; б) 3t2 – 4t – 4 = 0; в) 2z2 + 7z – 6 = 0; г) 2t² + 9t + 8 = 0.

579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

Теорема Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a};$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$$

Теорема, обратная теореме Виета:

Если $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ и $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$, то $$x_1$$ и $$x_2$$ корни квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$.

a) $$x^2 - 2x - 9 = 0;$$

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40;$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10};$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}.$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 1 + \sqrt{10} + 1 - \sqrt{10} = 2;$$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2.$$

$$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10}) \cdot (1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9;$$

$$\frac{c}{a} = \frac{-9}{1} = -9.$$

б) $$3t^2 - 4t - 4 = 0;$$

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64;$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2;$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}.$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = 2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3};$$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}.$$

$$t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3};$$

$$\frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}.$$

в) $$2z^2 + 7z - 6 = 0;$$

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97;$$

$$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4};$$

$$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}.$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

$$z_1 + z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-7 + \sqrt{97} - 7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2};$$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{7}{2} = -\frac{7}{2}.$$

$$z_1 \cdot z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} \cdot \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{49 - 97}{16} = \frac{-48}{16} = -3;$$

$$\frac{c}{a} = \frac{-6}{2} = -3.$$

г) $$2t^2 + 9t + 8 = 0;$$

$$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 - 64 = 17;$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4};$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}.$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-9 + \sqrt{17} - 9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2};$$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{9}{2} = -\frac{9}{2}.$$

$$t_1 \cdot t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} \cdot \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{81 - 17}{16} = \frac{64}{16} = 4;$$

$$\frac{c}{a} = \frac{8}{2} = 4.$$

Ответ:

• a) $$x_1 = 1 + \sqrt{10};$$ $$x_2 = 1 - \sqrt{10};$$
• б) $$t_1 = 2;$$ $$t_2 = -\frac{2}{3};$$
• в) $$z_1 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4};$$ $$z_2 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4};$$
• г) $$t_1 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4};$$ $$t_2 = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}.$$