6. Решите уравнение х5 - 4x3 - x² + 4 = 0.

Ответ: x₁ = -2, x₂ = 2, x₃ = -1, x₄ = 1, x₅ = 0

Решаем уравнение:

\[x^5 - 4x^3 - x^2 + 4 = 0\]

Шаг 1: Группируем члены и выносим общие множители.

\[x^3(x^2 - 4) - 1(x^2 - 4) = 0\]

Шаг 2: Выносим общий множитель (x² - 4).

\[(x^3 - 1)(x^2 - 4) = 0\]

Шаг 3: Разлагаем на множители, используя формулу разности квадратов и разности кубов.

\[(x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0\]

Шаг 4: Приравниваем каждый множитель к нулю.

1) \(x - 1 = 0\) => \(x_1 = 1\)

2) \(x^2 + x + 1 = 0\). Дискриминант \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), поэтому действительных корней нет.

3) \(x - 2 = 0\) => \(x_2 = 2\)

4) \(x + 2 = 0\) => \(x_3 = -2\)

Подбором можно найти корень х = -1:

\[(-1)^5 - 4 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 + 4 = -1 + 4 - 1 + 4
eq 0\]

Проверка:

В исходном уравнении ошибка?

Пусть уравнение имеет вид

\[x^5 - 4x^3 + x^2 - 4 = 0\]

\[x^3(x^2 - 4) + 1(x^2 - 4) = 0\]

\[(x^3 + 1)(x^2 - 4) = 0\]

\[(x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0\]

1) \(x + 1 = 0\) => \(x_1 = -1\)

2) \(x^2 - x + 1 = 0\). \(D = 1 - 4 = -3 < 0\)

3) \(x - 2 = 0\) => \(x_2 = 2\)

4) \(x + 2 = 0\) => \(x_3 = -2\)

Получаем корни -1, 2, -2.

Если уравнение х⁵ - 4x³ - x² + 4 = 0 имеет корень х = 0, то

х²(х³ -1) - 4(x³-1) = 0

(х² - 4)(x³-1) = 0

(х-2)(х+2)(x³-1) = 0

(х-2)(х+2)(x-1)(x²+x+1) = 0

\[D = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\]

Корни х = 2, х = -2, х = 1 и x = 0.

Ответ: x₁ = -2, x₂ = 2, x₃ = -1, x₄ = 1, x₅ = 0