8. Решите уравнение (х + 3)⁴ + (x + 3)²= 12. В ответ запишите сумму найденных корней.

Ответ: -6

Решаем уравнение:

• Пусть \(y = (x + 3)^2\), тогда уравнение примет вид: \[y^2 + y = 12\] \[y^2 + y - 12 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение для y: Дискриминант \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\]Корни \[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\] \[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4\]
• Возвращаемся к x: \[(x + 3)^2 = 3 \Rightarrow x + 3 = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x_1 = -3 + \sqrt{3}, x_2 = -3 - \sqrt{3}\] \[(x + 3)^2 = -4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2i \Rightarrow x_3 = -3 + 2i, x_4 = -3 - 2i\]
• Находим сумму действительных корней: \[x_1 + x_2 = (-3 + \sqrt{3}) + (-3 - \sqrt{3}) = -6\]

Ответ: -6