Решите тригонометрическое уравнение 2 sin x + √2 = 0

Решение:

Перенесем \( \sqrt{2} \) в правую часть уравнения:

\[ 2 \sin x = -\sqrt{2} \]

Разделим обе части на 2:

\[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Это частный случай значения синуса. Угол, синус которого равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \), находится во второй и четвертой четвертях.

Основной угол, синус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), равен \( \frac{\pi}{4} \).

Значит, решениями являются:

\[ x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \]

и

\[ x = 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \]

где \( n \) — любое целое число.

Эти два множества решений можно записать в виде:

\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n \]

или

\[ x = \(\frac{5\pi}{4}\) + 2\(\pi\) n, \(\quad\) x = \(\frac{7\pi}{4}\) + 2\(\pi\) n, \(\quad\) n \(\in\) \(\mathbb{Z}\)

Ответ: \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).